ALIŞTIRMALAR

Örnek:

Çözüm: A kümesi içindeki {1,2} bir eleman, {1,2,3} bir elemandır. s(A)=5, s(B)=3, s(C)=1 olup
                  s(A)+s(B)+s(C)=5+3+1=9 dur.


Örnek: A={x: x<=20, x asal sayı} kümesinin eleman sayısını bulalım.
    
Çözüm: A kümesi 20'den küçük asal sayılardan oluşuyor.
                  Bu asal sayılar, 2,3,5,7,11,13,17,19 olup
                  A={2,3,5,7,11,13,17,19} ve s(A)=8 dir.


Örnek: Aşağıdakilerden hangisi A={1,2,3,4} kümesinin alt kümelerinden biri değildir?
    A)2              B){3,4}            C) {1,2,3,4}             D) {}              E) {2}

Çözüm: 2∈A olup {2}⊂A dır.  2, A'nın alt kümesi değildir.


Örnek: A={1,2,3,4} 
     B={1,2,5,6,7}  ise A\B ve B\A fark kümelerini bulunuz.

Çözüm: A\B={3,4}  ve B\A={5,6,7} dir.

Örnekte de görüldüğü gibi, A\B ≠ B\A dır.



Örnek: 10 kişilik bir grupta 8 kişi gözlüksüz olduğuna göre, bu grupta kaç kişi gözlüklüdür?
     
Çözüm: Gözlüklü kişileri G, gözlüksüz kişileri K ile gösterelim. s(K)=8 ve s(G∪K)=10 verilmiş. Gözlük kullananlar ile gözlük kullanmayanlar kesin olarak ayırt 
edilebildiğinden bu iki küme ayrıktır. Bu yüzden G∩K={} dir.
     Verilen bağıntıyı kullanırsak,
      s(G∪K)=s(G)+s(K)-s(G∩K) dan,
           10=s(G)+8-0 eşitliğinden s(G)=2 bulunur.


Örnek: Bir sınıftaki öğrenciler keman ve flüt kurslarından en az birine katılıyor. Keman kursuna 18 öğrenci, flüt kursuna 25 öğrenci, hem keman hem flüt kursuna 7 öğrenci katıldığına göre,
bu sınıfta kaç öğrenci vardır?

Çözüm: Keman kursuna katılanları K, flüt kursuna katılanları F ile gösterirsek,
 s(K)=18, s(F)=25 ve s(K∩F)=7 dir. 
Verilen bağıntıdan,
s(K∪F)=s(K)+s(F)-s(K∩F)=18+25-7=36 bulunur. Yani sınıf mevcudu 36 dır.

                                              Alıştırmalar

       Bu materyal 9. sınıf matematik dersi için hazırlanmış olup ortaokulda görülen kümeler 
konusunu hatırlatma, pekiştirme ve geliştirme amaçlı kullanılabileceği gibi, YGS hazırlık 
amaçlı da kullanılabilir.

         Yararlanılan kaynaklar:
        Esen Yayınları 9. Sınıf Matematik
        www.hocalarageldik.com

BİRLEŞİM VE KESİŞİM İŞLEMLERİNİN ÖZELLİKLERİ

                                        

                                    Birleşim İşleminin Özellikleri

1. Bir kümenin kendisiyle birleşimi yine kendisidir. AUA=A
2. Bir kümenin boş kümeyle birleşimi yine kendisidir. {}UA=A (Etkisiz Eleman)
3. AUB=BUA (Değişme Özelliği)
4. (AUB)UC=AU(BUC) (Birleşme Özelliği)
5. AUB={} ise A={} ve B={} dir.

                                        

                                    Kesişim İşleminin Özellikleri

1. Her kümenin kendisiyle kesişimi, kümenin kendisidir. A∩A=A
2. Bir kümenin boş kümeyle kesişimi boş kümedir. A∩{}={} (Yutan Eleman)
3. A∩B=B∩A (Değişme Özelliği)
4. (A∩B)∩C=A∩(B∩C) (Birleşme Özelliği)

     

 Dağılma Özelliği:

    

     a. Birleşimin Kesişim Üzerine Dağılma Özelliği:

     

                      Her A, B ve C kümeleri için,

  

                      AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC) dir.

                  b. Kesişimin Birleşim Üzerine Dağılma Özelliği:

                      Her A, B ve C kümeleri için,

                      A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C) dir.

KÜMELERLE YAPILAN İŞLEMLER

                                         
                                        Kümelerde Birleşim İşlemi
       
        İki ya da daha fazla kümenin tüm elemanlarının oluşturduğu kümeye birleşim kümesi denir. Birleşme işlemi, "U" ile gösterilir.

        Örnek: A={1,2,3}
                   B={2,3,4,5}  ise AUB={1,2,3,4,5} tir.
         
        Örnek: C={3,4}
                   D={5,6,7} ise CUD={3,4,5,6,7} dir.

• (AUB)⊃A ve (AUB)⊃B dir.
• A⊂B ise AUB=B dir.

       Örnek: A={2,6,7,8}

                 B={2,3,8,9}

                 C={2,3,4,7} ise,  

                 AUB={2,3,6,7,8,9}

                 AUBUC={2,3,4,6,7,8,9}

                                       Kümelerde Kesişim İşlemi

             İki ya da daha fazla kümenin ortak elemanlarından oluşan kümeye kesişim 
     (ara kesit) kümesi denir. Kesişim işlemi, "∩" ile gösterilir.

     Örnek: A={1,2,3}

               B={2,3,5} ise A∩B={2,3} tür.

     

Kesişim kümesi her iki kümenin de alt kümesidir.

(A∩B)⊂A   (A∩B)⊂B

     

Kesişimleri boş küme olan kümelere ayrık kümeler denir.

Tümleme: Bir A kümesine ait olmayan fakat evrensel kümeye ait olan elemanlardan oluşan kümeye A  kümesinin tümleyeni denir ve A' ile gösterilir.

Fark: A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanların kümesine A ile B nin farkı denir. A\B veya A-B ile gösterilir.

De Morgan Kuralları

(AUB)'=A'∩B'

(A∩B)'=A'UB'

       

ALT KÜME

     A ve B gibi iki kümeden, B kümesinin her elemanı A kümesinin de elemanı ise, B kümesi A kümesinin alt kümesidir denir ve B⊂A şeklinde gösterilir.

      Bir kümenin kendisinden farklı olan her alt kümesine özalt kümesi denir.

Örnekler

Örneğin yukarıdaki şemaya göre, A kümesi B kümesinin alt kümesidir. B kümesi A kümesini kapsar(içine alır) denir ve B⊃A şeklinde gösterilir.

Yukarıdaki şemaya göre, 

B⊂A (B, A'nın alt kümesidir)

                                                   C⊄A (C, A'nın alt kümesi değildir)

                                            A⊃B (A, B kümesini kapsar)

Yukarıdaki şemaya göre,

F⊂E (F, E'nin alt kümesidir)

F⊂D (F, D'nin alt kümesidir)

E⊂D (E, D'nin alt kümesidir)

D⊄F (D, F'nin alt kümesi değildir)

E⊄F (E, F'nin alt kümesi değildir)

                                        Alt Kümelerin Özellikleri     

1. Boş küme, her kümenin alt kümesidir. { } ⊂ A
2. Her küme, kendisinin alt kümesidir. A⊂A
3. A,B ve C kümeleri için, A⊂B ve B⊂C ise A⊂C dir.
4. Birbirini kapsayan iki küme eşittir. A⊂B ve B⊂A ise A=B dir.
5. Bir kümenin sıfır elemanlı alt kümesi daima 1 tanedir, o da boş kümedir.
6. n elemanlı bir kümenin, n elemanlı alt küme sayısı daima 1 tanedir, o da kümenin kendisidir.
7. Her A kümesi için A⊂E dir.

       

 Evrensel Küme: Üzerinde işlem yapılan ve tüm kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir. E ile gösterilir.

KÜMELER

          Küme kavramının tanımı yoktur. Ama küme denilince, iyi tanımlanmış, birbirinden farklı nesneler topluluğu akla gelmelidir.
          
                                            
                                      Kümelerin Özellikleri
     

• Kümeyi oluşturan nesnelere o kümenin elemanı(öğesi) denir. a bir A kümesinin elemanı ise a∈A şeklinde gösterilir. Eğer b, A kümesinin elemanı değilse, b∉A şeklinde gösterilir.
• Kümede, bir eleman bir defa yazılır.
• Kümenin elemanlarının küme içerisinde yer değiştirmesi kümeyi değiştirmez.
• Kümeler genellikle A,B,C,... gibi büyük harflerle; elemanları ise a,b,c,... gibi küçük harflerle gösterilir.

                                      Kümelerin Gösterilişi

    Liste Yöntemi: Kümenin tüm elemanlarının aralarına virgül konularak küme parantezi içine yazılmasıdır.

    Örneğin, 1 basamaklı asal sayıların kümesi {2,3,5,7} biçiminde gösterilir.

    Venn Şeması: Kümenin elemanlarının kapalı eğrilerin içine, yanına nokta konularak yazılmasıdır. 

    Örneğin, A={2,3,5,7} kümesinin venn şemasıyla çeşitli gösterimleri aşağıdakiler gibidir.

    Ortak Özellik Yöntemi: {x: x elemanlarının ortak özellikleri} veya {x| x elemanlarının ortak özellikleri} biçimlerinde kümeler yazılabilir. Burada, ":" ve "|" sembolleri "öyle ki" anlamına gelmektedir.

    Örneğin, 1 basamaklı asal sayılar kümesi A={x: x asal sayı ve x<10} şeklinde de gösterilebilir.

Bir A kümesinin eleman sayısı s(A) veya n(A) ile gösterilir.

Örneğin, A={1,2,3,4,5} ise s(A)=5 tir.

                                            Küme Çeşitleri

    Boş Küme: Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. { } veya Ø şeklinde gösterilir.  

{Ø} kümesi 1 elemanlı bir küme olup boş küme değildir.

    Sonlu ve Sonsuz Küme: Eleman sayısı tespit edilebilen kümeye sonlu küme denir.

    Örneğin, A={x: x<6 ve x∈N} eleman sayısı tespit edilebildiğinden sonlu kümedir.

    Eleman sayısı tespit edilemeyen kümeye sonsuz küme denir.

    Doğal sayılar kümesi ve tam sayılar kümesi sonsuz kümeye birer örnektir.

     

    Eşit Küme: Aynı elemanlardan oluşan iki kümeye eşit kümeler denir ve A=B ile

gösterilir.

    Örneğin, A={1,2,3,4} ve B={x: 1<=x<=4, x∈Z} kümeleri için A=B dir.